Xerrades - 2020
Cada any, a la Matefest-Infofest rebem ponents que mostren temes que en molts casos mai es tractaran en una aula de secundària o batxillerat, però no per això són menys interessants o importants. Aquest any, les xerrades de les convidades i convidats són en format virtual, inclouen tallers interactius i toquen àrees ben diverses, des de les probabilitats fins la música. Descobreix-les a continuació:
La rosa de Nightingale
En tot treball científic, la recol·lecta d’informació hi és una part important, però és tant o més crucial saber representar gràficament el material recollit per tal d’arribar a les conclusions correctes, i també per mostrar-les al públic de manera entenedora. Algunes eines de representació de dades que ja deus conèixer són les taules, i, amb més efecte visual, diferents tipus de gràfics, com els de barres o de línies. Mentre aquests són dels més habituals, a vegades és necessari un canvi de perspectiva per tal que un gràfic reveli el màxim d’informació possible al primer cop d’ull.
​
Això és el que aconsegueix el gràfic que titula aquesta xerrada, que renuncia als eixos cartesians i, en lloc seu, fa servir el que anomenem eixos polars. Pot ser que aquest nom et sigui familiar per les formes de representació de nombres complexos o imaginaris: passem de tenir coordenades horitzontal i vertical en la forma binòmica o cartesiana a identificar un punt per la seva distància al zero i l'angle respecte l'eix x en la polar:
Eixos cartesians
Eixos polars
Pots pensar un gràfic en eixos polars com un rellotge. Per exemple, com veuràs, en el cas de la rosa de Nightingale, cada “hora” representa un mes de l’any. Així, cada sector circular mostra informació d’un moment diferent del temps. D’altra banda, l’àrea pintada de cada sector circular indica la proporció de mortalitat per una causa concreta, segons el color, en el mes corresponent.
Descobreix la història de Nightingale i els detalls sobre la construcció i usos del gràfic que porta el seu nom a la presentació de la professora Olga Julià:
Com has pogut veure, Florence Nightingale va ser una dona que es va formar en disciplines en la seva època reservades de manera exclusiva per als homes, com les matemàtiques. Malgrat els seus èxits, no va ser la primera ni l’última que va patir prejudicis lligats al seu gènere. Trobaràs més històries de dones matemàtiques que van desenvolupar la seva obra abans i després de la vida de Nightingale a l’estand “Les matemàtiques en femení”.
Màgia i matemàtiques
A tots i a totes ens agradaria preveure el futur o llegir la ment d’altres persones, però això no és possible. O potser sí? A vegades, les matemàtiques ens permeten fer de mentalistes i saber d’avantmà on portaran les decisions d’altres. A continuació et presentem tres casos en què, gràcies a diferents propietats matemàtiques, et podrem llegir la ment. El repte per a tu és, a partir dels aplicatius que trobaràs, descobrir per què es donen els efectes que veuràs.
​
Per al primer, comencem amb nou cartes numerades de l’1 al 9 i agrupades de tres en tres. Hauràs d’escollir dos dels tres paquets, i, després, triar una carta de cada grup , i repetir aquesta operació fins que no en quedi cap. És important que agafis sempre primer una carta d’entre les que quedaran a la teva esquerra i, un cop fet això, una de les de la dreta. Quan no quedi cap carta, entre les sis cartes formaran tres nombres de dues xifres.
La suma dels tres nombres ha estat escrita en pantalla tota l’estona! Com pot ser això? Què fa que, independentment de com triem les cartes, sempre acabem amb aquest nombre? Sembla que els grups no han estat fet a l’atzar... Què tenen en comú? Són les úniques agrupacions de cartes de l’1 al 9 (o qualsevol altre conjunt de cartes) que garanteixen que la suma final sempre sigui la mateixa, encara que sigui un nombre diferent al vist ara?
​
Pots trobar l’explicació completa d’aquest efecte a l’article següent: http://magiaymatematicas.blogspot.com/2014/03/principio-de-la-matriz-matrix-principle.html.
​
Després d’aquest primer “truc” d’escalfament, abandonarem la baralla de cartes per endinsar-nos en el món dels quadrats màgics. Sovint, quan fem servir aquesta expressió ens referim a una taula quadrada plena de nombres tal que la suma de les seves files, columnes i diagonals és sempre la mateixa. Però la màgia del quadrat que aquí veuràs prové de nou dels seus poders de predicció.
​
Les normes són simples: escull un nombre de la quadrícula de sota, que farà que desapareguin els nombres que hi havia en la seva mateixa fila o columna. Tria un nombre d’entre els que queden i tornarà a passar el mateix. Arribats a aquest punt et trobaràs amb quatre nombres restants, col·locats formant un rectangle. Seguint les mateixes normes que abans, quan n’escullis un altre, automàticament quedarà seleccionat el que queda al vèrtex oposat del rectangle en qüestió.
De nou, veuràs que la suma dels quatre nombres encerclats ha estat en pantalla des del principi. Per què aquest nombre, i no cap altre? Es pot aconseguir fer un quadrat com aquest de manera que els quatre nombres escollits seguint aquestes normes sumin la quantitat que vulguem? Pots aconseguir que el producte o la resta dels números que triïs doni sempre el mateix resultat?
​
Descobreix més sobre aquest efecte a http://magiaymatematicas.blogspot.com/2014/05/de-cuadrados-magicos.html.
​
Per l’últim “truc”, tornaràs a necessitar unes quantes cartes; concretament, farem servir les següents cartes de la baralla francesa:
Inicialment, a l’aplicatiu de sota veuràs el dors de vuit cartes (que són les de la imatge anterior, creu-nos!) i un taulell amb una tortuga a l’origen. Seguint les instruccions en pantalla, hauràs de seleccionar dues cartes, que se’t revelaran immediatament. A continuació, cada vegada que facis clic sobre una de les cartes restants, la tortuga es mourà. Quan no quedin més cartes, mira què hi ha a la casella on ha acabat la tortuga.
Són les cartes que havies girat al principi! Per ser que el taulell és força gran, el mateix passarà independentment de les dues cartes per les que optis inicialment. És aquest l'únic conjunt de cartes amb aquesta propietat? Observa bé els moviments de la tortuga per descobrir el truc; aquest el trobaràs a: http://magiaymatematicas.blogspot.com/2019/11/magia-vectorial.html.
​
Si t’han agradat aquests trucs de màgia d’inspiració matemàtica, n’hi ha molts més al blog del professor Sergio Belmonte: http://magiaymatematicas.blogspot.com/.
Percebre melodia i harmonia en altres temps
La majoria de les discussions entorn de la música solen centrar-se en el seu desplegament a la interpretació o el temps perceptiu. Tanmateix, en compondre o analitzar una peça determinada, es descobreixen diferents escales de temps que van des de la visió arquitectònica de la peça en general fins a la de l'elaboració d'un determinat passatge, un acord o un sol esdeveniment sonor. Aquestes diferents perspectives del temps precedeixen a la interpretació i, tot i així, rarament es tenen en compte a l’hora de parlar d’un significat musical.
​
Abans de començar, introduïm alguns conceptes teòrics que es fan servir a la xerrada i que convé tenir en compte per tal de comprendre-la al màxim. Si en algun moment has treballat amb pentagrames i altres notacions musicals, et seran senzills d’entendre!
En aquesta xerrada, Fèlix Pastor i Enric Guaus ampliaran l’abast de les perspectives temporals del segon moviment de l’op. 27 de Webern proposant un concepte d’interpretació alternatiu mitjançant Instagram per descobrir aspectes ocults d’una altra manera. Aquesta distorsió té un efecte directe sobre la percepció tant del temps com de l’espai que revela nivells alternatius de significats.
Fractals
Més enllà de la bellesa conceptual que sovint trobem en les matemàtiques, també són presents en la construcció d’objectes estèticament plaents. Un dels més coneguts és el rectangle d’or, considerat el paral·lelogram de proporcions més atractives, molt present en l’art clàssic. A la pàgina inicial d’aquesta web trobaràs una exposició sobre el nombre d’or, que és el resultat de dividir la longitud del costat llarg d’aquest rectangle per la del costat curt.
​
Un altre concepte matemàtic que, a més de tenir aplicacions rellevants, dóna lloc a formes de gran bellesa, són els fractals. L’atractiu d’aquests objectes prové principalment de la seva autosemblança. Intuïtivament, en la versió més restrictiva d’aquesta propietat, diem que una figura és autosemblant quan una part seva té les mateixes característiques que la figura sencera. Un exemple de fractal amb aquesta propietat és la corba de Koch:
Com pots veure a la imatge anterior, aquesta corba es pot dividir en fragments que tenen el mateix aspecte que la corba sencera. Pots dibuixar aquesta corba fàcilment: tan sols necessites temps i precisió infinits. Per començar, pren un segment de longitud 1, que anomenarem generador de la corba, i talla’l en tres trossos. Llavors substitueix el fragment central per dos d’iguals col·locats formant un pic al centre del segment inicial, com mostra la imatge següent:
Aquest nou objecte és l’iniciador de la corba; observa que està format per 4 còpies del generador d’un terç de la seva longitud. A continuació, repeteix la mateixa operació amb cadascuna d’aquestes rèpliques, creant-ne encara més, i torna a aplicar els passos abans descrits a totes elles. La corba de Koch és el dibuix que obtindràs després de realitzar aquest procediment infinites vegades.
​
Descobreix aquest i més fractals i com construir-los a la presentació de la professora Núria Fagella:
A més, pots experimentar amb la construcció de fractals a l’aplicatiu que trobaràs al següent enllaç: https://www.maia.ub.es/holodyn/mathfrac/. Per aprendre com funciona, descarrega’t la guia del taller fent clic al botó de la dreta.
Museu de les Matemàtiques de Catalunya
Per fer matemàtiques no sempre cal paper i bolígraf, sinó que també pots trobar-les en construccions que pots fer amb elements que pots tenir a casa. Si t’agraden les manualitats, a continuació en trobaràs algunes que, encara que a primera vista no ho sembli, amaguen moltes matemàtiques. Per escalfar, començarem amb la construcció del pont de Leonardo, una estructura que se sosté a ella mateixa. Per fer-la, segueix les instruccions següents:
-
Aconsegeix llumins llargs (n'hi ha de 17cm).
-
Amb retolador fes marques a 1 cm dels extrems.
-
Feu 2 marques més, dividint el llumí en 3 parts iguals, Aquestes marques serveixen d'orientació per col·locar els llumins.
-
Descarregueu la guia fent clic al botó de la dreta. Hi trobaràs 11 models diferents de cúpules.
-
Bon pols!
A més del pont de Leonardo, els companys i companyes del Museu de les Matemàtiques de Catalunya han preparat diversos reptes. Els trobaràs tots al seu canal de Youtube; el que hi ha aquí és només un tast! Sabràs quantes barquetes fetes amb cartolina són necessàries per formar un cercle? Podràs resoldre els quadrats grecollatins, una mena de sudoku? També aprendràs a comptar amb guixes i a construir els poliedres regulars amb tubs de cartró!
Jocs d'atzar
Segurament alguna vegada has participat o vist algú participar en una loteria o d’altres apostes, com la travessa. En aquests jocs, la sort hi juga un paper important: això és evident en el cas de la loteria, però la fortuna també pot decantar el resultat d’un partit de futbol en qualsevol direcció. Ara bé, l’atzar no és sempre l’únic factor a tenir en compte, sinó que una decisió encertada ens pot donar més opcions de guanyar un joc concret.
​
Considerem, per exemple, el famós joc de Monty Hall (o de les tres portes), extret de la prova final d’un programa de televisió dels Estats Units, Let’s make a deal. En aquesta prova, el presentador mostrava a la o el concursant tres portes, rere una de les quals hi havia un cotxe, mentre darrere de cadascuna de les altres dues s’hi amagava una cabra. Sota aquesta premissa, la o el concursant havia d’escollir una de les tres portes, esperant haver triat la que cobreix el premi.
​
Si després d’això el presentador revelés què hi havia a l’altra banda de la porta per la que la o el concursant ha optat, guanyar el joc seria purament qüestió de sort: en una tercera part dels casos la porta escollida conduiria al premi, mentre en dues terceres parts de les ocasions, obrint-la ens trobaríem amb un animal. Però la prova final d’aquest programa no funcionava així. Un cop la o el concursant havia fet la seva tria, el presentador, coneixedor de què amagava cada porta, obria una de les que no havien estat seleccionades, tot mostrant una cabra. Això sempre és possible, ja que encara que darrere la porta de la o el concursant hi hagués una cabra, sabem que en queda una altra en creuar una altra porta!
​
Arribats a aquest punt, amb dues portes per obrir, el presentador donava a la o el concursant l’opció de canviar la seva tria. La pregunta ara és aquesta: si participessis en aquesta prova, què faries: canviaries la porta que has escollit al principi o la mantindries, o creus que el joc segueix sent purament atzarós i la decisió que prenguis és indiferent? Dit d’una altra manera, quina és la probabilitat que la porta que no ha obert el presentador amagui el cotxe?
​
Per respondre aquesta última pregunta pots jugar diverses vegades al joc mitjançant l’aplicatiu següent, tot fent servir una o altra estratègia, i veure quantes vegades encertes on hi ha el cotxe:
El món de les probabilitats és un terreny ple de resultants sorprenents que poden desafiar la nostra intuïció.
Descobreix el joc de les tres portes i altres jocs d’atzar, sortejos i les probabilitats que tens de guanyar-los a la presentació del professor David Márquez: